মাধ্যমিক গণিত সাজেশন 2021 | দ্বিঘাত করণী | Madhyamik Math Suggestion 2021: Quadratic Surd | Esho Seekhi

মাধ্যমিক গণিত সাজেশন : দ্বিঘাত করণীর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও সমাধান

Madhyamik Math Suggestion 2021 : Quadratic Surd

প্রিয় ছাত্রছাত্রীরা, আজকের এই পোস্টটিতে আমরা আলোচনা করব ২০২১ মাধ্যমিকের কিছু গুরুত্বপূর্ণ অংক (Important Questions 2021) এবং তাদের সমাধানগুলি । আজ এই পোস্টে মাধ্যমিক গণিত বইয়ের দ্বিঘাত করণীর গুরুত্বপূর্ণ অংক গুলি এবং তাদের সমাধান গুলি দেখবো । তাহলে চলো নিচে দেখে নেওয়া যাক Madhyamik Math Suggestion 2021

দ্বিঘাত করণী : Madhyamik Math suggestion 2021

1. $\small \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=14$ হলে $\small x$ এর মান নির্ণয় কর |

উত্তর:
  $\small \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=14$

বা, $\small\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}=14$

বা, $\frac{2\thinspace[x^2 +(\sqrt{x^2-1})^2]}{(x)^2-(\sqrt{x^2-1})^2}=14$

বা, $\frac{2\thinspace[x^2+x^2-1]}{\not{x^2}-\not{x^2}+1}=14$

বা, $\small {2\thinspace[2x^2-1]}=14$

বা, $\small 4x^2-2=14$

বা, $\small 4x^2=14+2$

বা, $\small 4x^2=16$

বা, $\small x^2=\frac{\overset{4}\not{1}\not{6}}{\not4}$

বা, $\small x^2=4$

বা, $\small x=\sqrt 4$

∴ $\small x= \pm 2$
∴$\small x$ এর মান হবে 土 2 অর্থাৎ +2 অথবা  -2 (উত্তর)

2. যদি $\small a = \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}$  ও $\small b = \frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}$ হয় তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় কর :
(i) $\small \frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}$ ;  (ii) $\small \frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}$ ; (iii) $\small \frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}$ ; (iv) $\small \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}$
সমাধান:
$\small (a+b)=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}$

বা, $\small (a+b)=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}$

বা, $\small (a+b)=\frac{2\{(\sqrt5)^2+(1)^2\}}{(\sqrt5)^2-(1)^2}$

বা, $=\frac{2\{5+1\}}{5-1}=\frac{\not{2}\thinspace\times\overset{3}\not{6}}{\underset{\not{2}}\not{4}}=3$

∴ $\small (a+b)=3$

আবার,
$\small (a-b)=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}$

বা, $\small (a-b)= \frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}$

বা, $\small (a-b)=\frac{4\cdot \sqrt5\cdot 1}{(\sqrt5)^2-(1)^2}=\frac{\not4\cdot \sqrt5\cdot 1}{\not4}=\sqrt5$

 ∴ $\small (a-b)=\sqrt5$

আবার,
$\small ab= \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1} \times \frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}=1$

(i) প্রদত্ত,  $\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}$

$\small =\frac{\{(a+b)^2-2ab\}+ab}{\{(a+b)^2-2ab\}-ab}$

$\small =\frac{\{(3)^2-2\times1\}+1}{\{(3)^2-2\times1\}-1}$

$\small =\frac{\{9-2\}+1}{\{9-2\}-1}=\frac{7+1}{7-1}=\frac{\overset{4}\not8}{\underset{3}\not6}$

∴ $\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} (Ans.)$

(ii) প্রদত্ত,  $\small \frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}$
  
$=\frac{(\sqrt5)^3}{(3)^3}=\frac{5\sqrt5}{27}(Ans.)$

(iii) প্রদত্ত, $\small \frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}$ 

$\small = \frac{3\{a^2+b^2\}+5ab}{3\{a^2+b^2\}-5ab}$

$\small =\frac{3\{(a+b)^2-2ab\}+5ab}{3\{(a+b)^2-2ab\}-5ab}$ 

$\small = \frac{3\{(3)^2-2\times1\}+5\times1}{3\{(3)^2-2\times1\}-5\times1}$ 

$\small =\frac{3\{9-2\}+5}{3\{9-2\}-5}$

$\small =\frac{3\times7+5}{3\times7-5}$

$\small =\frac{\overset{13}\thinspace\not{2}\not{6}}{\underset{8}\not{1}\not{6}}=\frac{13}{8}=1\frac{5}{8}\thinspace(Ans.)$  

(iv) প্রদত্ত, $\small \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}$

$\small = \frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a-b)}$ {a^³+b^³ এবং a^³ - b^³ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই}

$\small = \frac{(3)^3-3\times1(3)}{(\sqrt5)^3+\times1(\sqrt5)}$

$\small = \frac {27-9}{5\sqrt5+3\sqrt5}$

$\small = \frac { \overset{9}\not{1}\not{8}}{\underset{4}\not{8}\sqrt5}$

$\small =\frac{9}{4\sqrt5}=\frac{9\times\sqrt5}{4\sqrt5\times\sqrt5}=\frac{9\sqrt5}{20}(Ans.)$

3. $\small x=\sqrt7+\sqrt6$ হলে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্ণয় কর:
(i) $\small x-\frac{1}{x}$ ; (ii) $\small x+\frac{1}{x}$ ; (iii) $\small x^2+\frac{1}{x^2}$ ; (iv) $\small x^3+\frac{1}{x^3}$

সমাধান:
প্রদত্ত, $\small x=\sqrt7+\sqrt6$

∴ $\small \frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}$

$\small =\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}$

$\small =\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-1}=\sqrt7-\sqrt6$

(i) প্রদত্ত, $\small x-\frac{1}{x}$

$\small =(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt7-\sqrt6)$

$\small =\sqrt7+\sqrt6-{\sqrt7}+\sqrt6=2\sqrt6(Ans.)$

(ii) প্রদত্ত, $\small x+\frac{1}{x}$

$\small =\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6=2\sqrt7(Ans.)$

(iii) $\small x^2+\frac{1}{x^2}$

$\small =(x+\frac{1}{x})^2-2\cdot \not{x}\cdot\frac{1}{\not{x}}$

$\small =(2\sqrt7)^2-2=28-2=26(Ans.)$

(iv) $\small x^3+\frac{1}{x^3}$

$\small =(x+\frac{1}{x})^3-3\cdot \not{x}\cdot\frac{1}{\not{x}}(x+\frac{1}{x})$

$\small =(2\sqrt7)^3-3(2\sqrt7)$

$\small =56\sqrt7-6\sqrt7=50\sqrt7(Ans.)$

4. যদি, $\small x=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}$ এবং $\small xy=1$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\small \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{12}{11}$

প্রদত্ত, $\small xy=1$

∴ $\small y=\frac{1}{x}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}$

$\small x+y=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}+\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}$

$\small =\frac{(\sqrt7+\sqrt3)^2+(\sqrt7-\sqrt3)^2}{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}$

$\small =\frac{2\{(\sqrt7)^2+(\sqrt3)^2}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}$

$\small =\frac{2\{7+3\}}{7-3}=\frac{\not2\times\overset{5}\not1\not0}{\underset{\not2}\thinspace\not{4}}=5$

∴$\small x+y=5$

এখন,
বামপক্ষ = $\small \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$

$\small = \frac{x^2+y^2+xy}{x^2+y^2-xy}$

$\small =\frac{\{(x+y)^2-2xy\}+xy}{\{(x+y)^2-2xy\}-xy}$

$\small =\frac{\{(5)^2-2\times1\}+1}{\{(5)^2-2\times1\}-1}$

$\small =\frac{\{25-2\}+1}{\{25-2\}-1}$

$\small =\frac{23+1}{23-1}$

$=\frac{\overset{12}\thinspace\not2\not4}{\underset{11}\thinspace \not2\not2}=\frac{12}{11}$

= ডানপক্ষ      (প্রমাণিত)

5. $\small x=\sqrt3+\sqrt2$ হলে নিম্নলিখিতগুলির মান নির্ণয় কর:
(i) $\small (x-\frac{1}{x})$ ; (ii) $\small (x+\frac{1}{x})$ ; (iii) $\small (x^3+\frac{1}{x^3})$ ; (iv) $\small (x^2-\frac{1}{x^2})$.

সমাধান: প্রদত্ত, $\small x=\sqrt3+\sqrt2$

∴ $\small \frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$

$\small =\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}$

$\small =\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2$

(i) প্রদত্ত, $\small (x-\frac{1}{x})$

$\small =(\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2)$

$\small =\sqrt3+\sqrt2-\sqrt3+\sqrt2=2\sqrt2(Ans.)$

(ii) প্রদত্ত, $\small (x+\frac{1}{x})$

$\small =\sqrt3+\sqrt2+\sqrt3-\sqrt2$

$\small =2\sqrt3(Ans.)$

(iii) প্রদত্ত, $\small (x^3+\frac{1}{x^3})$  

$\small =(x+\frac{1}{x})^3-3\cdot \not{x} \cdot \frac{1}{\not{x}}(x+\frac{1}{x})$

$=(2\sqrt3)^3-3(2\sqrt3)$

$=24\sqrt3-6\sqrt3=18\sqrt3 (Ans.)$

(iv) প্রদত্ত, $(x^2-\frac{1}{x^2})$

$=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$

$=2\sqrt3 \times 2\sqrt2=4\sqrt6 (Ans.)$


6. প্রমান কর, $\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt3$
সমাধান:
বামপক্ষ
$=\sqrt{108}-\sqrt{75}$

$\small =\sqrt{2\times2\times3\times3\times3} - \sqrt{3\times5\times5}$

$\small =(2\times3)\sqrt3 - 5\sqrt3$

$=6\sqrt3 - 5\sqrt3$

$=\sqrt3 \thinspace(Ans.)$

∴$\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt3$  (প্রমাণিত)

7. দেখাও যে, $\sqrt{98}+\sqrt8-2\sqrt{32}=\sqrt2$
বামপক্ষ
$=\sqrt{98}+\sqrt8-2\sqrt{32}$

$\tiny = \sqrt{2\times7\times7}+\sqrt{2\times2\times2} - 2 \sqrt{2\times2\times2\times2\times2}$

$\small =7\sqrt2+2\sqrt2-(2\times2\times2)\sqrt2$

$=9\sqrt2 - 8\sqrt2$ 

$=\sqrt2$

=ডানপক্ষ

∴$\sqrt{98}+\sqrt8-2\sqrt{32}=\sqrt2$  (প্রমাণিত)

উপরের এই অঙ্কগুলি ছাড়াও যেগুলি Madhyamik Exam 2021 এর জন্য খুবই Important সেগুলি হল:
পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা 159 এর প্রয়োগ-35, প্রয়োগ-37, পৃষ্ঠা 158 এর প্রয়োগ-32, প্রয়োগ-33, প্রয়োগ-31 .

**এই পোস্টটিতে পরবর্তীতে আরও সম্ভাব্য গুরুত্বপূর্ণ অংকগুলি আপডেট করা হবে । তাই, নিয়মিত এই পোস্ট টিকে ভিজিট  করতে থাকবেন ।**


উপরের আলোচিত অংকগুলির সমাধান (Madhyamik Math Suggestions 2021) নিয়ে তোমাদের কোনোরকম প্রশ্ন থাকলে তা নির্দ্বিধায় জানাতে পারো । নিচে কমেন্ট করে তোমাদের প্রশ্ন, মতামত জানাও । এছাড়া আমাদের ফেসবুক পেজেও তোমাদের যাবতীয় প্রশ্ন জানাতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক করো 👉 Esho Seekhi Facebook

এছাড়া কোনো কোনো বিষয়ে আমাদের সাথে যোগাযোগ করতে হলে আমাদের মেল করুন । আমাদের মেল আইডি হল: eshoseekhi@gmail.com